Moving Charges And Magnetism (SAQs)

Physics-2 | 7. Moving Charges and Magnetism – SAQs:
Welcome to SAQs in Chapter 7: Moving Charges and Magnetism. This page features the key FAQs for Short Answer Questions. Answers are given in simple English, with a Telugu translation, and formatted in the exam style. This will support your understanding and help you aim for top marks in your final exams.


SAQ-1 : State and explain Biot – Savart’s law.

For Backbenchers 😎

Biot-Savart’s Law is a fundamental rule in electromagnetism that helps us understand how electricity and magnets are connected. It’s crucial when it comes to generating magnetic fields using electric currents.

Biot-Savart’s Law says that the magnetic field (B) created by a tiny part of a wire carrying electric current depends on a few things. First, it depends on how much electric current flows through that wire, which we call current (I). More current means a stronger magnetic field. Next, it depends on how long that tiny part of the wire is, which we call “dl.” Longer wire pieces create stronger magnetic fields. Lastly, it relies on how far you are from that wire when measuring the magnetic field, which we call distance (r). The farther you are, the weaker the magnetic field.

Mathematically, Biot-Savart’s Law looks complex, but it’s manageable. It tells us that the magnetic field (B) equals some numbers (μ0 / 4π) times the current (I) times the tiny wire piece (dl) crossed with a special direction vector (r^). All of this is divided by the square of the distance (r) from the wire to where you’re checking the magnetic field. The “cross” part means the magnetic field is at a right angle to both the current’s direction and the direction from the wire to the measurement point.

In simple terms, Biot-Savart’s Law helps us figure out how strong the magnetic field is around a wire with electricity. It’s super useful for scientists and engineers in many areas of science and technology.

మన తెలుగులో

బయోట్-సావర్ట్ యొక్క చట్టం అనేది విద్యుదయస్కాంతత్వంలో ఒక ప్రాథమిక నియమం, ఇది విద్యుత్ మరియు అయస్కాంతాలు ఎలా అనుసంధానించబడిందో అర్థం చేసుకోవడానికి మాకు సహాయపడుతుంది. విద్యుత్ ప్రవాహాలను ఉపయోగించి అయస్కాంత క్షేత్రాలను ఉత్పత్తి చేసేటప్పుడు ఇది చాలా కీలకం.

విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని మోసుకెళ్లే తీగలోని చిన్న భాగం ద్వారా సృష్టించబడిన అయస్కాంత క్షేత్రం (B) కొన్ని విషయాలపై ఆధారపడి ఉంటుందని బయోట్-సావర్ట్ చట్టం చెబుతోంది. మొదట, ఆ వైర్ ద్వారా విద్యుత్ ప్రవాహం ఎంత ప్రవహిస్తుందనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది, దీనిని మనం కరెంట్ (I) అని పిలుస్తాము. ఎక్కువ కరెంట్ అంటే బలమైన అయస్కాంత క్షేత్రం. తరువాత, వైర్ యొక్క చిన్న భాగం ఎంత పొడవుగా ఉందో దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది, దానిని మనం “dl” అని పిలుస్తాము. పొడవైన వైర్ ముక్కలు బలమైన అయస్కాంత క్షేత్రాలను సృష్టిస్తాయి. చివరగా, అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని కొలిచేటప్పుడు మీరు ఆ వైర్ నుండి ఎంత దూరంలో ఉన్నారనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది, దీనిని మనం దూరం (r) అని పిలుస్తాము. మీరు ఎంత దూరం ఉంటే, అయస్కాంత క్షేత్రం బలహీనంగా ఉంటుంది.

గణితశాస్త్రపరంగా, బయోట్-సావర్ట్ యొక్క చట్టం సంక్లిష్టంగా కనిపిస్తుంది, కానీ ఇది నిర్వహించదగినది. అయస్కాంత క్షేత్రం (B) కొన్ని సంఖ్యలకు (μ0 / 4π) రెట్లు కరెంట్ (I) రెట్లు చిన్న వైర్ పీస్ (dl) ప్రత్యేక దిశ వెక్టర్ (r^)తో దాటుతుందని ఇది మాకు చెబుతుంది. మీరు అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని తనిఖీ చేస్తున్న వైర్ నుండి దూరం (r) యొక్క చతురస్రంతో ఇవన్నీ విభజించబడ్డాయి. “క్రాస్” భాగం అంటే అయస్కాంత క్షేత్రం కరెంట్ యొక్క దిశ మరియు వైర్ నుండి కొలత పాయింట్ వరకు ఉన్న దిశ రెండింటికీ లంబ కోణంలో ఉంటుంది.

సరళంగా చెప్పాలంటే, విద్యుత్‌తో కూడిన తీగ చుట్టూ అయస్కాంత క్షేత్రం ఎంత బలంగా ఉందో గుర్తించడంలో బయోట్-సావర్ట్ చట్టం సహాయపడుతుంది. సైన్స్ మరియు టెక్నాలజీలోని అనేక రంగాలలోని శాస్త్రవేత్తలు మరియు ఇంజనీర్‌లకు ఇది చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

Introduction

Biot-Savart’s Law is a fundamental law in electromagnetism that describes the magnetic field generated by a steady electric current. It is crucial for understanding the relationship between electricity and magnetism, particularly in the context of generating magnetic fields through electric currents.

Explanation of Biot-Savart’s Law

Biot-Savart’s Law states that the magnetic field (B) produced by an element of a current-carrying wire is directly proportional to the current (I) and the length of the wire element (dl), and inversely proportional to the square of the distance from the wire element to the point where the magnetic field is being calculated.

The law is mathematically expressed as

$$\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I (d\mathbf{l} \times \hat{\mathbf{r}})}{r^2}$$

where

  1. μ0​ is the permeability of free space.
  2. I is the electric current.
  3. dl is the infinitesimal length of the current-carrying wire.
  4. r^ is the unit vector from the wire element to the point of observation.
  5. r is the distance from the wire element to the point of observation.
  6. The cross product (dl × r^) signifies that the magnetic field is perpendicular to both the direction of the current and the direction from the current to the point of observation.

Summary

Biot-Savart’s Law is a key principle in electromagnetism that aids in calculating the magnetic field created by a current-carrying conductor. It emphasizes the relationship between the magnitude of the current, the geometry of the current path, and the resultant magnetic field, forming the basis for understanding complex magnetic field distributions in various electrical and magnetic systems.


SAQ-2 : State and explain Ampere’s law.

For Backbenchers 😎

Ampere’s Circuital Law is like a key concept in the world of electricity and magnets. It helps us understand how electric currents create magnetic fields, and this is super important for things like electric motors and generators.

So, here’s the deal: Ampere’s Circuital Law tells us that if you draw a closed path, like a circle, around a wire where electric current is flowing, and then you measure the magnetic field along that path, it’s directly related to two things. One is the magnetic permeability of the stuff around the wire, which we call “μ0” (mu-zero), and the other is the total electric current flowing through that circle, which we call “I.” In fancy math, it looks like this: the magnetic field along the path (B) times the path itself (dl) equals μ0 times the electric current (I).

Now, let’s make it simpler with an example. Imagine you have a straight wire, and you put a circular loop around it. At any point on this loop, the magnetic field (B) is the same because you’re equally far from the wire at every spot on the loop. With Ampere’s Law, you can figure out the magnetic field’s strength at any of those points. The formula for this situation is B = (μ0 * I) / (2π * r), where μ0 is that permeability thing, I is the electric current, and r is the distance from the wire to the point where you’re checking the magnetic field.

Now, what’s a magnetic field? It’s like an invisible force around a magnet or a wire with electricity. If you have electric charges moving in this field, they feel a force that pushes them in a direction that’s kinda sideways to both their movement and the magnetic field. There are also these cool rules, called Fleming’s Left-Hand Rule and Fleming’s Right-Hand Rule, that help us figure out the direction of this force, which is super useful in things like electric motors and generators.

In a nutshell, Ampere’s Circuital Law helps us understand how electric currents make magnetic fields, and it’s essential for lots of electrical gadgets we use every day. It’s like a secret code that scientists and engineers use to design things like motors, generators, and all sorts of cool electric stuff.

మన తెలుగులో

ఆంపియర్ యొక్క సర్క్యూట్ చట్టం విద్యుత్ మరియు అయస్కాంతాల ప్రపంచంలో కీలకమైన భావన వంటిది. విద్యుత్ ప్రవాహాలు అయస్కాంత క్షేత్రాలను ఎలా సృష్టిస్తాయో అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది మాకు సహాయపడుతుంది మరియు ఎలక్ట్రిక్ మోటార్లు మరియు జనరేటర్ల వంటి వాటికి ఇది చాలా ముఖ్యమైనది.

కాబట్టి, ఇక్కడ ఒప్పందం ఉంది: మీరు విద్యుత్ ప్రవాహం ప్రవహించే తీగ చుట్టూ వృత్తం వంటి మూసి మార్గాన్ని గీసి, ఆపై మీరు ఆ మార్గంలో ఉన్న అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని కొలిస్తే, అది నేరుగా రెండు విషయాలతో సంబంధం కలిగి ఉంటుందని ఆంపియర్ యొక్క సర్క్యూట్ చట్టం చెబుతుంది. ఒకటి వైర్ చుట్టూ ఉన్న వస్తువుల యొక్క అయస్కాంత పారగమ్యత, దీనిని మనం “μ0” (mu-zero) అని పిలుస్తాము, మరియు మరొకటి ఆ వృత్తం గుండా ప్రవహించే మొత్తం విద్యుత్ ప్రవాహం, దీనిని మనం “I” అని పిలుస్తాము. ఫాన్సీ గణితంలో, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: మార్గం (B) వెంట ఉన్న అయస్కాంత క్షేత్రం మార్గానికి (dl) μ0 రెట్లు విద్యుత్ ప్రవాహానికి (I) సమానం.

ఇప్పుడు, ఒక ఉదాహరణతో దీన్ని సులభతరం చేద్దాం. మీకు స్ట్రెయిట్ వైర్ ఉందని ఊహించుకోండి మరియు దాని చుట్టూ వృత్తాకార లూప్ ఉంచండి. ఈ లూప్‌లో ఏ సమయంలోనైనా, అయస్కాంత క్షేత్రం (B) ఒకే విధంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే మీరు లూప్‌లోని ప్రతి ప్రదేశంలో వైర్‌కు సమానంగా దూరంగా ఉంటారు. ఆంపియర్ యొక్క చట్టంతో, మీరు ఆ పాయింట్లలో దేనిలోనైనా అయస్కాంత క్షేత్రం యొక్క బలాన్ని గుర్తించవచ్చు. ఈ పరిస్థితికి సూత్రం B = (μ0 * I) / (2π * r), ఇక్కడ μ0 అనేది పారగమ్యత విషయం, నేను విద్యుత్ ప్రవాహం, మరియు r అనేది వైర్ నుండి మీరు తనిఖీ చేస్తున్న బిందువుకు దూరం. అయిస్కాంత క్షేత్రం.

ఇప్పుడు, అయస్కాంత క్షేత్రం అంటే ఏమిటి? ఇది అయస్కాంతం చుట్టూ ఒక అదృశ్య శక్తి లేదా విద్యుత్తుతో కూడిన తీగ వంటిది. మీరు ఈ ఫీల్డ్‌లో కదులుతున్న విద్యుత్ ఛార్జీలను కలిగి ఉంటే, వారు తమ కదలిక మరియు అయస్కాంత క్షేత్రం రెండింటికీ కొంత పక్కగా ఉండే దిశలో వాటిని నెట్టివేసే శక్తిని అనుభూతి చెందుతారు. ఫ్లెమింగ్స్ లెఫ్ట్ హ్యాండ్ రూల్ మరియు ఫ్లెమింగ్స్ రైట్ హ్యాండ్ రూల్ అని పిలువబడే ఈ చక్కని నియమాలు కూడా ఉన్నాయి, ఇవి ఎలక్ట్రిక్ మోటార్లు మరియు జనరేటర్‌ల వంటి వాటిలో చాలా ఉపయోగకరంగా ఉండే ఈ శక్తి యొక్క దిశను గుర్తించడంలో మాకు సహాయపడతాయి.

క్లుప్తంగా చెప్పాలంటే, విద్యుత్ ప్రవాహాలు అయస్కాంత క్షేత్రాలను ఎలా తయారు చేస్తాయో అర్థం చేసుకోవడంలో ఆంపియర్ యొక్క సర్క్యూట్ చట్టం మాకు సహాయపడుతుంది మరియు మనం ప్రతిరోజూ ఉపయోగించే చాలా ఎలక్ట్రికల్ గాడ్జెట్‌లకు ఇది అవసరం. శాస్త్రవేత్తలు మరియు ఇంజనీర్లు మోటార్లు, జనరేటర్లు మరియు అన్ని రకాల కూల్ ఎలక్ట్రిక్ వస్తువులను రూపొందించడానికి ఉపయోగించే రహస్య కోడ్ లాంటిది.

Introduction

Ampere’s Circuital Law is a cornerstone of electromagnetism, outlining the relationship between an electric current and the magnetic field it generates. This law is fundamental for understanding magnetic fields and their influence on electric charges and currents.

Understanding Ampere’s Circuital Law

Ampere’s Circuital Law states that the line integral of the magnetic field (B) around a closed path is equal to the product of the magnetic permeability of the medium (μ0​) and the total electric current (I) passing through the area enclosed by that path. The law is mathematically expressed as:

$$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I$$

Explaining Ampere’s Circuital Law with an Example

Consider a long, straight conductor carrying an electric current and a circular loop (Ampereian loop) centered at the wire. At any point P on this loop, the magnetic field intensity (B) is uniform as every point is equidistant from the wire. By applying Ampere’s Law, the magnetic field at point P can be calculated as:

$$\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}​$$

Magnetic Fields

A magnetic field (B) is a vector field representing the magnetic influence on moving electric charges, electric currents, and magnetized materials. Charges moving within this field experience a force perpendicular to both their velocity and the magnetic field direction.

Fleming’s Left and Right-Hand Rules

  1. Fleming’s Left-Hand Rule: Used to determine the direction of the magnetic force in an electric motor. It illustrates the interaction between an electric current and a magnetic field resulting in motion.
  2. Fleming’s Right-Hand Rule: Applies to electric generators, where it is used to ascertain the direction of induced current created by motion in a magnetic field.

Summary

Ampere’s Circuital Law is pivotal in understanding the interplay between electric currents and magnetic fields, a knowledge crucial in the study of electric motors and generators. It emphasizes the importance of considering the magnetic field’s direction in closed loops and utilizing Fleming’s rules for accurately determining the direction of forces and currents in electromagnetic systems.


SAQ-3 : Find the magnetic induction due to a long current carrying conductor.

For Backbenchers 😎

Magnetic induction caused by a current in a wire might sound complex, but it’s a crucial idea in the world of electricity and magnets. Let’s break it down step by step.

First, we use something called Ampere’s Circuital Law, which is like a special rule in electromagnetism. This law says that if you make a circle around a wire where electric current is flowing, and you measure the magnetic field all around that circle, it’s related to two things. One is the stuff around the wire, which we call “μ0” (mu-zero), and the other is the amount of current flowing through the wire, which we call “I.” This law is written like this: the magnetic field (B) times the path you draw around the wire (dl) equals μ0 times the current (I).

Now, let’s simplify this with an example. Imagine a long, straight wire carrying electric current, like in a power line. You can think of a circle drawn around that wire as our special path. Along this circle, the magnetic field is the same everywhere, and it points outwards from the wire. Now, because everything is so neat and uniform, the math becomes simpler.

We can use Ampere’s Law for this case. It tells us that B times the distance around our circle (which is like the path we made) equals μ0 times the current (I). The distance around our circle is like the distance around a pizza, and it’s 2π times the radius (r). So, we can rewrite our formula as B times 2πr equals μ0 times I.

Now, if we want to find the strength of the magnetic field (B) at a certain distance (r) from the wire, we can rearrange the formula. B equals μ0 times I divided by 2πr. This simple formula helps us understand how strong the magnetic field is at different distances from the wire.

So, in a nutshell, when electric current flows through a wire, it creates a magnetic field around it. This magnetic field’s strength depends on the current and how far you are from the wire. Scientists and engineers use this idea to design things like transformers and power lines, and it’s a fundamental concept in the world of electricity.

మన తెలుగులో

వైర్‌లోని కరెంట్ వల్ల కలిగే అయస్కాంత ప్రేరణ సంక్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు, అయితే ఇది విద్యుత్ మరియు అయస్కాంతాల ప్రపంచంలో కీలకమైన ఆలోచన. దానిని దశలవారీగా విడదీద్దాం.

మొదట, విద్యుదయస్కాంతత్వంలో ఒక ప్రత్యేక నియమం వలె ఉండే ఆంపియర్స్ సర్క్యూట్ లా అని పిలవబడే దాన్ని మేము ఉపయోగిస్తాము. మీరు విద్యుత్ ప్రవాహం ప్రవహించే తీగ చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని తయారు చేసి, ఆ సర్కిల్ చుట్టూ ఉన్న అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని కొలిస్తే, అది రెండు విషయాలకు సంబంధించినదని ఈ చట్టం చెబుతోంది. ఒకటి వైర్ చుట్టూ ఉన్న అంశాలు, దీనిని మనం “μ0” (mu-zero) అని పిలుస్తాము మరియు మరొకటి వైర్ ద్వారా ప్రవహించే కరెంట్ మొత్తం, దీనిని మనం “I” అని పిలుస్తాము. ఈ చట్టం ఇలా వ్రాయబడింది: అయస్కాంత క్షేత్రం (B) సార్లు మీరు వైర్ (dl) చుట్టూ గీసే మార్గం కరెంట్ (I) కంటే μ0 రెట్లు సమానం.

ఇప్పుడు, దీనిని ఒక ఉదాహరణతో సరళీకృతం చేద్దాం. విద్యుత్ లైన్‌లో లాగా, విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని మోసుకెళ్లే పొడవైన, సరళ తీగను ఊహించుకోండి. మీరు ఆ తీగ చుట్టూ గీసిన వృత్తాన్ని మా ప్రత్యేక మార్గంగా భావించవచ్చు. ఈ వృత్తంతో పాటు, అయస్కాంత క్షేత్రం ప్రతిచోటా ఒకే విధంగా ఉంటుంది మరియు ఇది వైర్ నుండి బయటికి చూపుతుంది. ఇప్పుడు, ప్రతిదీ చాలా చక్కగా మరియు ఏకరీతిగా ఉన్నందున, గణితం సరళంగా మారుతుంది.

మేము ఈ కేసు కోసం ఆంపియర్ యొక్క చట్టాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. ఇది మన వృత్తం చుట్టూ ఉన్న దూరం B రెట్లు (ఇది మనం చేసిన మార్గం లాంటిది) ప్రస్తుత (I) కంటే μ0 రెట్లు సమానం అని చెబుతుంది. మన సర్కిల్ చుట్టూ ఉన్న దూరం పిజ్జా చుట్టూ ఉన్న దూరం వలె ఉంటుంది మరియు ఇది వ్యాసార్థం (r) కంటే 2π రెట్లు ఎక్కువ. కాబట్టి, B సార్లు 2πr సమానం μ0 సార్లు Iగా మన సూత్రాన్ని తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

ఇప్పుడు, మేము వైర్ నుండి కొంత దూరం (r) వద్ద అయస్కాంత క్షేత్రం (B) యొక్క బలాన్ని కనుగొనాలనుకుంటే, మేము సూత్రాన్ని పునర్వ్యవస్థీకరించవచ్చు. B సమానం μ0 సార్లు I 2πr ద్వారా విభజించబడింది. వైర్ నుండి వేర్వేరు దూరాలలో అయస్కాంత క్షేత్రం ఎంత బలంగా ఉందో అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ సాధారణ సూత్రం మాకు సహాయపడుతుంది.

కాబట్టి, క్లుప్తంగా, ఒక తీగ ద్వారా విద్యుత్ ప్రవాహం ప్రవహించినప్పుడు, అది దాని చుట్టూ అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని సృష్టిస్తుంది. ఈ అయస్కాంత క్షేత్రం యొక్క బలం కరెంట్ మరియు మీరు వైర్ నుండి ఎంత దూరంలో ఉన్నారనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. శాస్త్రవేత్తలు మరియు ఇంజనీర్లు ట్రాన్స్‌ఫార్మర్లు మరియు పవర్ లైన్‌ల వంటి వాటిని రూపొందించడానికి ఈ ఆలోచనను ఉపయోగిస్తారు మరియు ఇది విద్యుత్ ప్రపంచంలో ఒక ప్రాథమిక భావన.

Introduction

Magnetic induction caused by a long current-carrying conductor is a fundamental concept in electromagnetism, illustrating how electric currents give rise to magnetic fields. Understanding this principle is crucial for various applications in electrical engineering and physics.

Derivation of Magnetic Induction

  1. Ampere’s Circuital Law: To find the magnetic induction, we utilize Ampere’s Circuital Law, which states: $$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I$$ Here, B is the magnetic field, μ0​ is the permeability of free space, and I is the current through the conductor.
  2. Considering a Long Straight Conductor: For a long straight conductor carrying a current I, we imagine a circular loop of radius r around the conductor as our path for the integration.
  3. Uniform Magnetic Field Along the Loop: The magnetic field is uniform along the circular loop and is perpendicular to the radius at every point. Therefore, the dot product B⋅dl simplifies to Bdl as B and dl are parallel.
  4. Application of Ampere’s Law: Substituting into Ampere’s Law, we get: $$\oint B dl = \mu_0 I$$ Since B is constant along the loop, it comes out of the integral, leading to: $$B \oint dl = \mu_0 I$$
  5. Calculating the Magnetic Field (B): The integral ∮dl is the circumference of the circular loop, which is 2πr. Therefore, $$B \times 2\pi r = \mu_0 I$$ Simplifying for B, we get: $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$​

Summary

The magnetic induction B due to a long straight current-carrying conductor is given by:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}​$$

where r is the perpendicular distance from the conductor. This formula is vital in understanding the magnetic effects of current in wires and is widely used in the design of electrical devices and understanding magnetic fields around conductors.


SAQ-4 : Derive an expression for the magnetic induction at the Centre of a current carrying circular coil using Biot – Savart’s law.

For Backbenchers 😎

In physics, we often deal with magnetic fields created by things like wires carrying electric currents. A famous rule called Biot-Savart’s Law helps us figure out how strong a magnetic field is at any point due to a tiny piece of that wire with an electric current.

Now, let’s focus on a specific situation: imagine we have a circular loop made of wire, and it has an electric current flowing through it. This law, Biot-Savart’s Law, lets us calculate the magnetic field right at the center of that loop.

This law tells us that the strength of the magnetic field (represented as B) at that center point depends on a few things. First, it depends on the electric current (i) in the wire. Second, it depends on the size of a tiny piece of the wire (dl) that we’re looking at. Third, it depends on how far away that piece of wire is from the center point (r).

Now, when we have a circular loop, there’s an important thing to know: the angle between that tiny piece of wire (dl) and the distance from it to the center (r) is always 90 degrees, which means sinθ (a mathematical term) is always equal to 1.

So, if we put all of this into an equation, we get a formula for the magnetic field at the center of our circular loop: B = (μ₀ * i) / (2 * r).

This formula helps us understand how strong the magnetic field is at the center of a circular loop with an electric current. It’s a fundamental idea in electromagnetism and helps us design things like electric circuits and devices that use magnetism, which is pretty cool!

మన తెలుగులో

భౌతిక శాస్త్రంలో, విద్యుత్ ప్రవాహాలను మోసే వైర్లు వంటి వాటి ద్వారా సృష్టించబడిన అయస్కాంత క్షేత్రాలతో మేము తరచుగా వ్యవహరిస్తాము. Biot-Savart’s Law అని పిలువబడే ఒక ప్రసిద్ధ నియమం, విద్యుత్ ప్రవాహంతో ఆ వైర్ యొక్క చిన్న ముక్క కారణంగా ఏ సమయంలోనైనా అయస్కాంత క్షేత్రం ఎంత బలంగా ఉందో గుర్తించడంలో సహాయపడుతుంది.

ఇప్పుడు, ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితిపై దృష్టి పెడదాం: మనకు వైర్‌తో చేసిన వృత్తాకార లూప్ ఉందని ఊహించుకోండి మరియు దాని ద్వారా ప్రవహించే విద్యుత్ ప్రవాహం ఉంది. ఈ చట్టం, బయోట్-సావర్ట్ యొక్క చట్టం, ఆ లూప్ మధ్యలో ఉన్న అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని లెక్కించేందుకు అనుమతిస్తుంది.

ఆ కేంద్ర బిందువు వద్ద అయస్కాంత క్షేత్రం యొక్క బలం (Bగా సూచించబడుతుంది) కొన్ని విషయాలపై ఆధారపడి ఉంటుందని ఈ చట్టం చెబుతుంది. మొదట, ఇది వైర్‌లోని విద్యుత్ ప్రవాహం (i)పై ఆధారపడి ఉంటుంది. రెండవది, ఇది మనం చూస్తున్న వైర్ (dl) యొక్క చిన్న ముక్క పరిమాణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మూడవది, ఆ వైర్ ముక్క సెంటర్ పాయింట్ (r) నుండి ఎంత దూరంలో ఉందో దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఇప్పుడు, మనకు వృత్తాకార లూప్ ఉన్నప్పుడు, తెలుసుకోవలసిన ఒక ముఖ్యమైన విషయం ఉంది: ఆ చిన్న తీగ (dl) మరియు దాని నుండి కేంద్రం (r)కి దూరం మధ్య కోణం ఎల్లప్పుడూ 90 డిగ్రీలు, అంటే sinθ (ఒక గణిత పదం ) ఎల్లప్పుడూ 1కి సమానం.

కాబట్టి, మనం ఇవన్నీ సమీకరణంలో ఉంచినట్లయితే, మన వృత్తాకార లూప్ మధ్యలో ఉన్న అయస్కాంత క్షేత్రానికి సూత్రాన్ని పొందుతాము: B = (μ₀ * i) / (2 * r).

విద్యుత్ ప్రవాహంతో వృత్తాకార లూప్ మధ్యలో అయస్కాంత క్షేత్రం ఎంత బలంగా ఉందో అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ సూత్రం మాకు సహాయపడుతుంది. ఇది విద్యుదయస్కాంతత్వంలో ఒక ప్రాథమిక ఆలోచన మరియు ఎలక్ట్రిక్ సర్క్యూట్‌లు మరియు అయస్కాంతత్వాన్ని ఉపయోగించే పరికరాల వంటి వాటిని రూపొందించడంలో మాకు సహాయపడుతుంది, ఇది చాలా బాగుంది!

Introduction

Understanding the magnetic fields produced by current-carrying conductors is a key concept in physics. Biot-Savart’s law provides a method to calculate the magnetic field at any point due to a small current element. This law is particularly useful for determining the magnetic field at the center of a circular coil carrying current.

Understanding Biot-Savart’s Law

Biot-Savart’s Law posits that the magnetic field (dB) due to a small element of a current-carrying conductor is directly proportional to the current (i) and the length of the element (dl), and inversely proportional to the square of the distance (r2) from the point to the element.

Application to a Circular Coil

  1. Circular Coil Configuration: Consider a circular loop with current (i) flowing through it. For a small element dl at a distance r from the center of the loop, Biot-Savart’s law gives: $$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{i \cdot dl \times r}{r^2}​$$
  2. Angle Between dl and r: In a circular loop, the angle (θ) between dl and r is 90 degrees, so sinθ = 1.
  3. Substituting Values: Substituting into Biot-Savart’s law, we get: $$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{i \cdot dl}{r^2}​$$
  4. Total Magnetic Field (B): To find the total magnetic field at the center of the loop, integrate dB over the entire loop: $$B = \int dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{i}{r^2} \int dl$$ The integral of dl over the loop equals the circumference of the loop (2πr), leading to: $$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{i}{r^2} \cdot 2\pi r$$
  5. Simplified Expression for B: Simplifying the expression, we obtain the total magnetic field at the center of the loop: $$B = \frac{\mu_0 \cdot i}{2r}​$$

Summary

By applying Biot-Savart’s Law, we deduce that the magnetic field at the center of a circular coil carrying a current is $$B = \frac{\mu_0 \cdot i}{2r}$$ This expression is vital for understanding the magnetic effects of circular currents and is foundational in electromagnetism studies.


SAQ-5 : Derive an expression for the magnetic induction (B) at a point on the axis of a current carrying circular coil using Biot – Savart’s law.

For Backbenchers 😎

Imagine you have a circular wire loop like a hula hoop, and electricity is flowing through it. Now, picture a point right in the middle of this hoop, and you want to figure out how strong the magnetic field is at that point. This is where things get interesting.

To understand this, we use something called Biot-Savart’s Law. It’s a rule in electromagnetism that helps us calculate magnetic fields created by electric currents. In simple terms, it tells us that the magnetic field at a particular spot depends on three things: how much electric current is flowing, how long a tiny piece of the wire is, and how far it is from our spot of interest.

Now, let’s dive into the math, but don’t worry, we’ll keep it simple. We start by using a formula derived from Biot-Savart’s Law, which looks like this: B = (μ₀ * I * R²) / [2 * (x² + R²)^(3/2)].

Breaking down the important parts of this formula, B represents the strength of the magnetic field at our chosen point. μ₀ is just a number that never changes. I stands for the electric current flowing through the wire loop, and R is the size of the loop, specifically its radius. Lastly, x is the distance from the center of the loop to the point we’re interested in.

Now, what this formula helps us do is calculate how strong the magnetic field is at our chosen point along the line going through the middle of the circular coil. It’s a fundamental concept when dealing with things like electromagnets, electric motors, and understanding how magnetic fields work in various applications. So, it’s like a key that unlocks our understanding of these magnetic forces in the world of electricity.

మన తెలుగులో

మీరు హులా హూప్ వంటి వృత్తాకార వైర్ లూప్ కలిగి ఉన్నారని ఊహించుకోండి మరియు దాని ద్వారా విద్యుత్ ప్రవహిస్తుంది. ఇప్పుడు, ఈ హోప్ మధ్యలో ఒక బిందువును చిత్రించండి మరియు ఆ సమయంలో అయస్కాంత క్షేత్రం ఎంత బలంగా ఉందో మీరు గుర్తించాలనుకుంటున్నారు. ఇక్కడే విషయాలు ఆసక్తికరంగా మారాయి.

దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, మేము బయోట్-సావర్ట్ లా అని పిలవబడే దాన్ని ఉపయోగిస్తాము. ఇది విద్యుదయస్కాంతత్వంలో ఒక నియమం, ఇది విద్యుత్ ప్రవాహాల ద్వారా సృష్టించబడిన అయస్కాంత క్షేత్రాలను లెక్కించడంలో మాకు సహాయపడుతుంది. సరళంగా చెప్పాలంటే, ఒక నిర్దిష్ట ప్రదేశంలో ఉన్న అయస్కాంత క్షేత్రం మూడు విషయాలపై ఆధారపడి ఉంటుందని ఇది మాకు చెబుతుంది: విద్యుత్ ప్రవాహం ఎంత ప్రవహిస్తోంది, ఒక చిన్న వైర్ ముక్క ఎంత పొడవుగా ఉంది మరియు మనకు ఆసక్తి ఉన్న ప్రదేశం నుండి ఎంత దూరంలో ఉంది.

ఇప్పుడు, గణితంలోకి ప్రవేశిద్దాం, కానీ చింతించకండి, మేము దానిని సరళంగా ఉంచుతాము. మేము బయోట్-సావర్ట్ యొక్క చట్టం నుండి తీసుకోబడిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా ప్రారంభిస్తాము, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: B = (μ₀ * I * R²) / [2 * (x² + R²)^(3/2)].

ఈ ఫార్ములా యొక్క ముఖ్యమైన భాగాలను విచ్ఛిన్నం చేయడం, B అనేది మనం ఎంచుకున్న పాయింట్ వద్ద అయస్కాంత క్షేత్రం యొక్క బలాన్ని సూచిస్తుంది. μ₀ అనేది ఎప్పటికీ మారని సంఖ్య. నేను వైర్ లూప్ ద్వారా ప్రవహించే విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని సూచిస్తుంది మరియు R అనేది లూప్ యొక్క పరిమాణం, ప్రత్యేకంగా దాని వ్యాసార్థం. చివరగా, x అనేది లూప్ కేంద్రం నుండి మనకు ఆసక్తి ఉన్న పాయింట్‌కి దూరం.

ఇప్పుడు, వృత్తాకార కాయిల్ మధ్యలో వెళ్లే రేఖ వెంట మనం ఎంచుకున్న పాయింట్ వద్ద అయస్కాంత క్షేత్రం ఎంత బలంగా ఉందో లెక్కించడానికి ఈ ఫార్ములా మనకు సహాయం చేస్తుంది. విద్యుదయస్కాంతాలు, ఎలక్ట్రిక్ మోటార్లు మరియు వివిధ అనువర్తనాల్లో అయస్కాంత క్షేత్రాలు ఎలా పని చేస్తాయో అర్థం చేసుకోవడం వంటి వాటితో వ్యవహరించేటప్పుడు ఇది ప్రాథమిక భావన. కాబట్టి, ఇది విద్యుత్ ప్రపంచంలోని ఈ అయస్కాంత శక్తుల గురించి మన అవగాహనను అన్‌లాక్ చేసే కీ లాంటిది.

Introduction

The derivation of the magnetic induction (B) at a point on the axis of a current-carrying circular coil is an important application of Biot-Savart’s Law in electromagnetism. This concept is crucial for understanding the magnetic fields generated by circular coils.

Biot-Savart’s Law and Its Application to a Circular Coil

Biot-Savart’s Law states that the magnetic field (dB) created by a small segment of current-carrying wire is proportional to the current (I), the length of the segment (dl), and the inverse square of the distance (r) from the segment to the point of observation.

Derivation of Magnetic Induction for a Circular Coil

  1. Consider a Circular Coil: Imagine a circular coil of radius R carrying a current I. Let’s derive the magnetic field at a point P located at a distance x from the center of the coil along its axis.
  2. Application of Biot-Savart’s Law: According to Biot-Savart’s Law, $$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \cdot dl \times \hat{r}}{r^2}$$
  3. Geometry of the Problem: For an element dl of the coil, the distance r from dl to point P is given by $$r = \sqrt{x^2 + R^2}$$ The angle θ between dl and r^ (the line joining dl and P) is 90 degrees.
  4. Magnetic Field Contribution: The magnetic field dB due to dl at P is perpendicular to the plane formed by dl and r^. Therefore, we only consider the component of dB along the axis of the coil: $$dB_{\text{axial}} = dB \cdot \cos\phi$$ where ϕ is the angle between dB and the axis of the coil.
  5. Calculation of dBaxial: Using trigonometry, $$\cos\phi = \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}$$ Substituting into the equation for dBaxial​, we get: $$dB_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \cdot dl \cdot x}{(x^2 + R^2)^{3/2}}​$$
  6. Total Magnetic Field at Point P: Integrating dBaxial​ over the entire coil gives the total magnetic field B at point P: $$B = \int dB_{\text{axial}} = \frac{\mu_0 \cdot I \cdot x}{2(x^2 + R^2)^{3/2}} \int dl$$ Since the integral of dl over the entire coil is the circumference of the coil (2πR), we obtain: $$B = \frac{\mu_0 \cdot I \cdot R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$$

Summary

The magnetic induction (B) at a point on the axis of a current-carrying circular coil is given by:

$$B = \frac{\mu_0 \cdot I \cdot R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$$

This formula, derived using Biot-Savart’s Law, is fundamental in calculating the magnetic fields generated by circular coils in various applications in physics and engineering.


SAQ-6 : Derive an expression for the magnetic dipole moment of a revolving electron.

For Backbenchers 😎

Think of an electron as a tiny particle going around the center of an atom. It’s like a little electron going in circles.

Now, when this electron moves, it’s kind of like a tiny electric current, similar to electricity in wires. We call this electron’s movement a “current loop.”

To understand how strong this current is, we take the electron’s charge (which is a basic property of particles) and divide it by the time it takes for the electron to complete one full circle. We call this time “time period.”

We can also connect this time period to how fast the electron is spinning around, which we call “angular velocity.” So, the current (I) is just the electron’s charge (e) divided by the time it takes to go around.

Now, imagine the path the electron follows in its circular motion. If you think about this path as a circle, we can find the area inside this circle. For our electron, this area is just πr², where “r” is the radius of the circle.

Now, here’s the cool part. The magnetic dipole moment (μ) is like a measure of how “magnetized” our electron’s motion is. To calculate it, we just multiply the current (I) by the area (A) inside the circle.

So, μ = I ⋅ A.

When we put all these ideas together, we get a simple formula for the magnetic dipole moment (μ) of our electron. It looks like this: μ = (1/2) * e * ω * r².

Or, if we use a different concept called “angular momentum” (L), which has to do with how fast the electron spins and its mass (m), our formula becomes: μ = (e/2m) * L.

These equations help us understand how the electron’s movement in an atom can make things magnetic. So, the way electrons go around in atoms can actually create magnets! That’s why this is such an important idea in science.

మన తెలుగులో

ఎలక్ట్రాన్‌ను పరమాణువు మధ్యలో ఒక చిన్న కణంగా భావించండి. ఇది ఒక చిన్న ఎలక్ట్రాన్ వలయాల్లోకి వెళ్లడం లాంటిది.

ఇప్పుడు, ఈ ఎలక్ట్రాన్ కదులుతున్నప్పుడు, ఇది ఒక చిన్న విద్యుత్ ప్రవాహం వలె ఉంటుంది, వైర్లలో విద్యుత్తు వలె ఉంటుంది. మేము ఈ ఎలక్ట్రాన్ యొక్క కదలికను “కరెంట్ లూప్” అని పిలుస్తాము.

ఈ కరెంట్ ఎంత బలంగా ఉందో అర్థం చేసుకోవడానికి, మేము ఎలక్ట్రాన్ యొక్క ఛార్జ్ (ఇది కణాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణం)ని తీసుకుంటాము మరియు ఎలక్ట్రాన్ ఒక పూర్తి వృత్తాన్ని పూర్తి చేయడానికి పట్టే సమయానికి దానిని విభజించాము. మేము ఈ సమయాన్ని “సమయం” అని పిలుస్తాము.

ఎలక్ట్రాన్ ఎంత వేగంగా తిరుగుతుందో కూడా మనం ఈ సమయ వ్యవధిని కనెక్ట్ చేయవచ్చు, దీనిని మనం “కోణీయ వేగం” అని పిలుస్తాము. కాబట్టి, కరెంట్ (I) అనేది ఎలక్ట్రాన్ యొక్క ఛార్జ్ (e) చుట్టూ తిరగడానికి పట్టే సమయంతో భాగించబడుతుంది.

ఇప్పుడు, ఎలక్ట్రాన్ దాని వృత్తాకార కదలికలో అనుసరించే మార్గాన్ని ఊహించండి. మీరు ఈ మార్గాన్ని సర్కిల్‌గా భావించినట్లయితే, మేము ఈ సర్కిల్‌లోని ప్రాంతాన్ని కనుగొనగలము. మన ఎలక్ట్రాన్ కోసం, ఈ ప్రాంతం కేవలం πr², ఇక్కడ “r” అనేది వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

ఇప్పుడు, ఇక్కడ చల్లని భాగం. మాగ్నెటిక్ డైపోల్ మూమెంట్ (μ) అనేది మన ఎలక్ట్రాన్ యొక్క చలనం ఎంత “అయస్కాంతీకరించబడింది” అనే దానికి కొలమానం లాంటిది. దానిని లెక్కించడానికి, మేము కరెంట్ (I)ని సర్కిల్ లోపల ఉన్న ప్రాంతం (A) ద్వారా గుణిస్తాము. కాబట్టి, μ = I ⋅ A.

మేము ఈ ఆలోచనలన్నింటినీ కలిపి ఉంచినప్పుడు, మన ఎలక్ట్రాన్ యొక్క అయస్కాంత ద్విధ్రువ క్షణం (μ) కోసం మేము ఒక సాధారణ సూత్రాన్ని పొందుతాము. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: μ = (1/2) * e * ω * r².

లేదా, ఎలక్ట్రాన్ ఎంత వేగంగా తిరుగుతుంది మరియు దాని ద్రవ్యరాశి (m)తో సంబంధం ఉన్న “కోణీయ మొమెంటం” (L) అనే విభిన్న భావనను ఉపయోగిస్తే, మన సూత్రం అవుతుంది: μ = (e/2m) * L.

ఈ సమీకరణాలు పరమాణువులో ఎలక్ట్రాన్ యొక్క కదలిక వస్తువులను అయస్కాంతంగా ఎలా మారుస్తుందో అర్థం చేసుకోవడానికి మాకు సహాయపడతాయి. కాబట్టి, ఎలక్ట్రాన్లు పరమాణువుల చుట్టూ తిరిగే విధానం వాస్తవానికి అయస్కాంతాలను సృష్టించగలదు! అందుకే సైన్స్‌లో ఇది చాలా ముఖ్యమైన ఆలోచన.

Introduction

The magnetic dipole moment associated with an electron revolving around a nucleus is an important concept in physics, particularly in the study of atomic structure and electromagnetic theory. This moment arises due to the orbital motion of electrons and can be understood in terms of classical electromagnetism.

Derivation of Magnetic Dipole Moment for a Revolving Electron

  1. Electron as a Current Loop: A revolving electron in an atomic orbit can be considered equivalent to a current loop. This is because the motion of the electron constitutes a circular current.
  2. Current Equivalent of Revolving Electron: The current (I) equivalent to the orbiting electron is given by the charge of the electron (e) divided by the time period (T) of its revolution: $$I = \frac{e}{T}​$$
  3. Time Period and Angular Velocity: The time period (T) is related to the angular velocity (ω) of the electron by $$T = \frac{2\pi}{\omega}$$ Substituting this into the expression for I, we get: $$I = \frac{e \omega}{2\pi}​$$
  4. Area of the Electron’s Orbit: If the radius of the electron’s orbit is r, then the area (A) of the orbit is πr2.
  5. Magnetic Dipole Moment (μ): The magnetic dipole moment of the current loop is given by the product of the current (I) and the area (A) of the loop: μ = I ⋅ A Substituting the expressions for I and A, we get: $$\mu = \frac{e \omega}{2\pi} \cdot \pi r^2$$
  6. Simplifying the Expression: Simplifying, the expression for the magnetic dipole moment becomes: $$\mu = \frac{1}{2} e \omega r^2$$ Alternatively, using angular momentum (L), where $$L = mvr = \frac{1}{2} m \omega r^2$$ (with m being the mass of the electron), the magnetic dipole moment can also be expressed as: $$\mu = \frac{e}{2m} L$$

Summary

The magnetic dipole moment (μ) of a revolving electron is given by:

$$\mu = \frac{1}{2} e \omega r^2$$

or equivalently,

$$\mu = \frac{e}{2m} L$$

This expression highlights the relationship between the electron’s orbital motion and its resultant magnetic dipole moment, playing a significant role in the magnetic properties of atoms and the foundation of quantum mechanics.


SAQ-7 : What are the basic components of a cyclotron? Mention its uses?

For Backbenchers 😎

A cyclotron is a particle accelerator that propels charged particles to high velocities. It operates on the principle that a charged particle moving perpendicular to a magnetic field undergoes a magnetic Lorentz force, resulting in a circular path.

The cyclotron is based on the principle that a charged particle in a magnetic field experiences a Lorentz force. This force is perpendicular to the particle’s velocity, causing it to move in a circular trajectory.

A cyclotron typically includes two hollow, D-shaped metallic cylinders known as “dees.” These dees are positioned within a strong electromagnet, with the magnetic field running along the length of the cylinder.

Between the dees, there’s a gap housing an ion source, and both dees are connected to a high-frequency oscillator.

An ion emitted from the source is drawn towards a negatively charged dee. As the ion exits the dee, the polarity changes, causing the ion to accelerate and move in a larger radius circle. The particle follows a spiral path of increasing radius, and when it nears the cyclotron’s edge, a deflector plate removes it for collision with a target.

The balance between magnetic and centripetal forces is given by Bqv = mv²/r, implying vr = Bq/m is constant. The time for one semi-circular path is t = πm/Bq. The period T of one revolution and the oscillator is 2t = 2πm/Bq, leading to the oscillator frequency ν = Bq/2πm, known as the resonance condition.

The size of the cyclotron limits the maximum particle velocity. Creating a uniform magnetic field across the entire dee is challenging. At high speeds, relativistic effects can disrupt the resonance conditions, limiting the cyclotron’s effectiveness.

In summary, the cyclotron is an essential tool in nuclear physics and medicine, built upon principles of electromagnetism and central force motion. While it has its limitations, its ability to accelerate particles is crucial for various scientific and medical applications.

మన తెలుగులో

సైక్లోట్రాన్ అనేది కణ యాక్సిలరేటర్, ఇది చార్జ్ చేయబడిన కణాలను అధిక వేగాలకు ప్రేరేపిస్తుంది. అయస్కాంత క్షేత్రానికి లంబంగా కదులుతున్న చార్జ్డ్ కణం అయస్కాంత లోరెంజ్ బలానికి లోనవుతుంది, ఫలితంగా వృత్తాకార మార్గం ఏర్పడుతుంది అనే సూత్రంపై ఇది పనిచేస్తుంది.

సైక్లోట్రాన్ అయస్కాంత క్షేత్రంలో చార్జ్ చేయబడిన కణం లోరెంజ్ శక్తిని అనుభవిస్తుంది అనే సూత్రంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ శక్తి కణం యొక్క వేగానికి లంబంగా ఉంటుంది, దీని వలన అది వృత్తాకార పథంలో కదులుతుంది.

సైక్లోట్రాన్ సాధారణంగా “డీస్” అని పిలువబడే రెండు బోలు, D-ఆకారపు లోహ సిలిండర్‌లను కలిగి ఉంటుంది. ఈ డీలు ఒక బలమైన విద్యుదయస్కాంతం లోపల ఉంచబడతాయి, అయస్కాంత క్షేత్రం సిలిండర్ పొడవున నడుస్తుంది.

డీల మధ్య, ఒక అయాన్ మూలాన్ని కలిగి ఉండే గ్యాప్ ఉంది మరియు రెండు డీలు హై-ఫ్రీక్వెన్సీ ఓసిలేటర్‌కి కనెక్ట్ చేయబడ్డాయి.

మూలం నుండి విడుదలయ్యే అయాన్ ప్రతికూలంగా ఛార్జ్ చేయబడిన డీ వైపుకు లాగబడుతుంది. అయాన్ డీ నుండి నిష్క్రమించినప్పుడు, ధ్రువణత మారుతుంది, దీని వలన అయాన్ వేగవంతం అవుతుంది మరియు పెద్ద వ్యాసార్థ వృత్తంలో కదులుతుంది. కణం పెరుగుతున్న వ్యాసార్థం యొక్క మురి మార్గాన్ని అనుసరిస్తుంది మరియు అది సైక్లోట్రాన్ అంచుకు చేరుకున్నప్పుడు, ఒక డిఫ్లెక్టర్ ప్లేట్ లక్ష్యంతో ఢీకొనేందుకు దానిని తీసివేస్తుంది.

అయస్కాంత మరియు సెంట్రిపెటల్ శక్తుల మధ్య సంతులనం Bqv = mv²/r ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, vr = Bq/m స్థిరంగా ఉంటుంది. ఒక అర్ధ వృత్తాకార మార్గం కోసం సమయం t = πm/Bq. ఒక విప్లవం మరియు ఓసిలేటర్ యొక్క కాలం T అనేది 2t = 2πm/Bq, ఇది ఓసిలేటర్ ఫ్రీక్వెన్సీకి దారి తీస్తుంది ν = Bq/2πm, దీనిని ప్రతిధ్వని స్థితి అంటారు.

సైక్లోట్రాన్ పరిమాణం గరిష్ట కణ వేగాన్ని పరిమితం చేస్తుంది. మొత్తం డీ అంతటా ఏకరీతి అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని సృష్టించడం సవాలుతో కూడుకున్నది. అధిక వేగంతో, సాపేక్ష ప్రభావాలు ప్రతిధ్వని పరిస్థితులకు అంతరాయం కలిగిస్తాయి, సైక్లోట్రాన్ ప్రభావాన్ని పరిమితం చేస్తాయి.

సారాంశంలో, సైక్లోట్రాన్ అనేది న్యూక్లియర్ ఫిజిక్స్ మరియు మెడిసిన్‌లో ఒక ముఖ్యమైన సాధనం, ఇది విద్యుదయస్కాంతత్వం మరియు సెంట్రల్ ఫోర్స్ మోషన్ సూత్రాలపై నిర్మించబడింది. ఇది దాని పరిమితులను కలిగి ఉన్నప్పటికీ, కణాలను వేగవంతం చేసే దాని సామర్థ్యం వివిధ శాస్త్రీయ మరియు వైద్య అనువర్తనాలకు కీలకమైనది.

Introduction

A cyclotron is a particle accelerator that propels charged particles to high velocities. It operates on the principle that a charged particle moving perpendicular to a magnetic field undergoes a magnetic Lorentz force, resulting in a circular path.

Principle of a Cyclotron

The cyclotron is based on the principle that a charged particle in a magnetic field experiences a Lorentz force. This force is perpendicular to the particle’s velocity, causing it to move in a circular trajectory.

Construction of a Cyclotron

  1. D-Shaped Metallic Cylinders (“Dees”): A cyclotron typically includes two hollow, D-shaped metallic cylinders known as “dees.”
  2. Placement of Dees: These dees are positioned within a strong electromagnet, with the magnetic field running along the length of the cylinder.
  3. Ion Source and Gap: Between the dees, there’s a gap housing an ion source, and both dees are connected to a high-frequency oscillator.

Working of a Cyclotron

  1. Ion Emission: An ion emitted from the source is drawn towards a negatively charged dee.
  2. Polarity Change and Acceleration: As the ion exits the dee, the polarity changes, causing the ion to accelerate and move in a larger radius circle.
  3. Spiral Path and Ejection: The particle follows a spiral path of increasing radius, and when it nears the cyclotron’s edge, a deflector plate removes it for collision with a target.

Mathematical Derivation

  1. Force Balance: The balance between magnetic and centripetal forces is given by Bqv = mv2/r, implying vr = Bq/m is constant.
  2. Period and Oscillator Frequency: The time for one semi-circular path is t = πm/Bq. The period T of one revolution and the oscillator is 2t = 2πm/Bq, leading to the oscillator frequency ν = Bq/2πm, known as the resonance condition.

Limitations of Cyclotrons

  1. Size Constraint: The size of the cyclotron limits the maximum particle velocity.
  2. Uniform Magnetic Field: Creating a uniform magnetic field across the entire dee is challenging.
  3. Relativistic Effects: At high speeds, relativistic effects can disrupt the resonance conditions, limiting the cyclotron’s effectiveness.

Summary

The cyclotron is an essential tool in nuclear physics and medicine, built upon principles of electromagnetism and central force motion. While it has its limitations, its ability to accelerate particles is crucial for various scientific and medical applications.